环与域​

环与域 ​环 ​设 ⟨R,+,⋅⟩ 是一个代数系统，如果满足以下条件：

⟨R,+⟩ 是一个阿贝尔群⟨R,⋅⟩ 是一个半群⋅ 对 + 满足分配律。 则称 ⟨R,+,⋅⟩ 是一个环。通常称 + 为环 R 的加法，⋅ 为环 R 的乘法。 环中加法单位元 记作 0，乘法单位元记作 1。

对任何元素 x，称其加法逆元为负元，记作 −x。 若 x 存在乘法逆元，则称之为逆元，记作 x−1。

nx 表示 n 个 x 相加，xn 表示 n 个 x 相乘。

环的实例 ​关于普通加法和乘法封闭的环 整数环 Z有理数环 Q实数环 R复数环 Coplus 和 otimes 分别表示模 n 加法和乘法的环 Znn 阶矩阵环 Mn(R)P(B) 对称差和交的环环的性质 ​设 ⟨R,+,⋅⟩ 是一个环

∀a∈R,0⋅a=a⋅0=0∀a,b∈R,(−a)b=a(−b)=−ab∀a,b,c∈R,a(b−c)=ab−ac,(a−b)c=ac−bc∀a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bm∈R,∑i=1nai∑j=1mbj=∑i=1n∑j=1maibj特殊的环 ​交换环：满足乘法交换律的环含幺环：存在乘法单位元的环无零因子环：若 ab=0⇒a=0∨b=0 的环 当且仅当满足乘法消去律时，环是无零因子环整环：以上三个性质同时满足的环域：设 R 是整环，且 R 中至少含有两个元素，每个非零元都有乘法逆元，则称 R 是一个域。